Question

（2012•包头一模）如图，四边形DCBE为直角梯形，∠DCB=90°，DE∥CB，DE=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，CD⊥AB，直线AE与直线CD所成角为60°．
（Ⅰ）求证：平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）求BE与平面ACE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明CD⊥平面ABC，利用面面垂直的判定，可证平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，由直线AE与直线CD所成角为60°，确定

BE

的坐标，求出平面ACE的一个法向量

n

=(

3

，3，-3)，利用向量的夹角公式，可求BE与平面ACE所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）证明：∵CD⊥AB，CD⊥CB，AB∩BC=B
∴CD⊥平面ABC
∵CD?平面ACD
∴平面ACD⊥平面ABC；
（Ⅱ）解：在平面ACB内，过C作CF⊥CB，以C为原点，以CF，CB，CD所在射线为x，y，z的正半轴建立空间直角坐标系C-xyz（如图）

由题意，设CD=a（a＞0），则D（0，0，a），E（0，1，a），B（0，2，0），A（

3

2

，-

1

2

，0）
∴

AE

=(-

3

2

，

3

2

，a)，

CD

=(0，0，a)
由直线AE与直线CD所成角为60°，得

AE

•

CD

=|

AE

||

CD

|cos60°，即a2=

a

2

a2+3

，解得a=1．
∴

CE

=(0，1，1)，

CA

=(

3

2

，-

1

2

，0)，

BE

=(0，-1，1)，
设平面ACE的一个法向量为

n

=（x，y，z），则

n • CA =0 n • CE =0

，
即

3 2 x- 1 2 y=0 y+z=0

，取x=

3

，则y=3，z=-3，得

n

=(

3

，3，-3)，
设BE与平面ACE所成角为θ，则sinθ=

| BE • n |

| BE || n |

=

42

7

，于是BE与平面ACE所成角的正弦值为

42

7

．

点评：本题考查面面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，解题的关键是掌握面面垂直的判定方法，正确确定向量的坐标，属于中档题．