Question

【题目】已知函数f（x）=ex（x2+x+a）在（0，f（0））处的切线与直线2x﹣y﹣3=0平行，其中a∈R．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=ex（x2+3x+a+1），

故f′（0）=a+1，而切线的斜率是2，

故a+1=2，解得：a=1

（2）解：由（1）得f（x）=ex（x2+x+1），

f′（x）=ex（x+1）（x+2），

令f′（x）＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣2，

令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，

故函数f（x）在[﹣2，﹣1）递减，在（﹣1，2]递增，

而f（﹣2）= ，f（﹣1）= ，f（2）=7e2，

故f（x）在[﹣2，2]的最小值是 ，最大值是7e2

【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（0）=2，求出a的值即可；（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值)．