Question

【题目】已知椭圆 的左，右焦点分别为F1 ， F2 ， 过F1任作一条与两坐标轴都不垂直的直线，与C交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．当直线AB的斜率为 时，AF2与x轴垂直． （I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在定点M，总能使MF1平分∠AMB？说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）由椭圆的定义可知△ABF2的周长4a=8，则a=2，

由直线AB的斜率为 时，AF2与x轴垂直，则tan∠AF1F2= = = ，

则b2=3c，由b2=a2﹣c2=4﹣c2，

则b= ，c=1，

∴椭圆的标准方程为： ；

（Ⅱ）方法一：假设存在点（m，0），使MF1平分∠AMB，

由直线l的斜率显然存在，设直线l方程y=k（x+1），（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

由 ，整理得：（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=1，

∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，kMA+kMB=0，

即 + =0，

k（x1+1）（x2﹣m）+k（x2+1）（x1﹣m）=0，

∴2x1x2﹣（m﹣1）（x1+x2）﹣2m=0，

∴8k2﹣24+8k2m﹣8k2﹣6m﹣8mk2=0，

解得：m=﹣4．

故存在点M（﹣4，0），使MF1平分∠AMB．

方法二：假设存在点（m，0），使MF1平分∠AMB，

由（I）可知：F1（﹣1，0），设直线AB为x=ty﹣1，（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ，（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0，

则y1+y2= ，y1y2=﹣ ，

假设存在（m，0），由MF1平分∠AMB可得，kMA+kMB=0，

∴ + =0，即y1（x1﹣m）+y2（x1﹣m）=0，

即y1（ty2﹣1）+y2（ty1﹣1）﹣m（y1+y2）=0，

∴2ty1y2﹣（1+m）（y1+y2）=0，

2t×（﹣ ）﹣（1﹣m）（ ）=0，则1+m=﹣3，

解得：m=﹣4，

故存在点M（﹣4，0），使MF1平分∠AMB

【解析】（I）由题意可知：4a=8，则a=2，由题意可知：tan∠AF1F2= = = ，即可求得b的值，求得椭圆方程；（Ⅱ）方法一：假设存在点（m，0），使MF1平分∠AMB，设直线l方程y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式可知：kMA+kMB=0，即可求得m的值；方法二：设直线AB为x=ty﹣1，代入椭圆方程，由韦达定理及直线的斜率公式可知：kMA+kMB=0，即可求得m的值．