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【题目】已知函数f(x)=alnx+ (a,b∈R)在点(1,f(1))处的切线方程为x﹣2y=0.
(1)求a,b的值;
(2)当x>1时,f(x)﹣kx<0恒成立,求实数k的取值范围;
(3)证明:当n∈N* , 且n≥2时, + + +…+

【答案】
(1)解:f′(x)= = ,f′(1)=a﹣ ,f(1)=

∵函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x﹣2y=0.

∴a﹣ = ,1﹣2× =0,解得b=2,a=1


(2)解:f(x)=lnx+

当x>1时,f(x)﹣kx<0恒成立,

∴lnx+ ﹣kx<0,化为:k + =g(x).

g′(x)= =

令h(x)=x﹣xlnx﹣1,(x>1).

h′(x)=1﹣lnx﹣1=﹣lnx<0,

∴h(x)<h(1)=0,

∴g′(x)<0,∴函数g(x)在x∈(1,+∞)上单调递减.

∴k≥g(1)=


(3)证明:由(2)可知:x>1时, + ,化为

令x=n≥2,则 =

∴当n∈N*,且n≥2时, + + +…+ + + +…+ +

= ﹣( )=


【解析】(1)f′(x)= = ,f′(1)=a﹣ ,f(1)= .由函数f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x﹣2y=0. 可得a﹣ = ,1﹣2× =0,解得a,b.(2)f(x)=lnx+ .当x>1时,f(x)﹣kx<0恒成立,lnx+ ﹣kx<0,化为:k + =g(x).利用导数研究函数g(x)的单调性极值与最值即可得出.(3)由(2)可知:x>1时, + ,化为 ,令x=n≥2,则 = .利用“累加求和”方法与“裂项求和”方法即可得出.

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