Question

已知数列{an}中，a1=

1

2

，且当x=

1

2

时，函数f(x)=

1

2

anx2-an+1x取得极值．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）数列{bn}满足b1=2，bn+1-2bn=

1

an+1

，求{bn}的通项及前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由题意 f′(

1

2

)=0得 an+1=

1

2

an，再由 a1=

1

2

≠0能求出 an=

1

2n

．
（2）b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺¹两边同除以2ⁿ⁺¹得：

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=1，从而{

bn

2n

}为等差数列，求出b_n，根据数列的特点可知利用错位相消的方法进行求和即可．

解答：解：（1）f'（x）=a_nx-a_n+1
由题意f′(

1

2

)=0得an+1=

1

2

an
又∵a1=

1

2

≠0所以数列{a_n}是公比为

1

2

的等比数列∴an=

1

2n

（2）由（1）知an+1=

1

2n+1

∴b_n+1-2b_n=2ⁿ⁺¹两边同除以2ⁿ⁺¹
得：

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=1∴

bn

2n

=

b1

21

+(n-1)=n，∴b_n=n•2ⁿ
S_n=2+2•2²+…+n•2ⁿ
2S_n=2²+…+（n-1）2ⁿ+n2ⁿ⁺¹
两式相减得-S_n=2+2•2²+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=（1-n）2ⁿ⁺¹-2∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的递推式和导数的运算，解题时要错位相消法的合理运用，属于中档题．