Question

如图所示，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．
（Ⅰ）证明：平面ADC₁B₁⊥平面A₁BE；
（Ⅱ）在棱C₁D₁上是否存在一点F，使B₁F∥平面A₁BE？证明你的结论．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，∴B₁C₁⊥平面AA₁B₁B；
∵A₁B⊆平面AA₁B₁B，∴B₁C₁⊥A₁B． …（2分）
又∵正方形AA₁B₁B中，A₁B⊥AB₁，且B₁C₁、AB₁是平面ADC₁B₁内的相交直线
∴A₁B⊥平面ADC₁B₁．…（4分）
∵A₁B⊆平面A₁BE，∴平面ADC₁B₁⊥平面A₁BE．…（6分）
（Ⅱ）当点F为C₁D₁中点时，可使B₁F∥平面A₁BE．…（7分）
证明如下：
∵△C₁D₁D中，EF是中位线，∴EF∥C₁D且EF=C₁D，…（9分）
设AB₁∩A₁B=O，则平行四边形AB₁C₁D中，B₁O∥C₁D且B₁O=C₁D，
∴EF∥B₁O且EF=B₁O，
∴四边形BEF∥B₁OEF为平行四边形，B₁F∥OE．…（11分）
∵B₁F?平面A₁BE，OE⊆平面A₁BE，
∴B₁F∥平面A₁BE …（13分）
分析：（I）由B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，得B₁C₁⊥A₁B．结合正方形AA₁B₁B中，A₁B⊥AB₁，可得A₁B⊥平面ADC₁B₁．最后根据面面垂直的判定定理，得到平面ADC₁B₁⊥平面A₁BE；
（II）设AB₁∩A₁B=O，取C₁D₁中点F，连接OE、EB、B₁F．根据三角形中位线定理，得EF∥C₁D且EF=C₁D，平行四边形AB₁C₁D中，有B₁O∥C₁D且B₁O=C₁D，从而得到EF∥B₁O且EF=B₁O，四边形BEF∥B₁OEF为平行四边形，B₁F∥OE，所以B₁F∥平面A₁BE，即存在C₁D₁中点F，使B₁F∥平面A₁BE．
点评：本题在正方体中，证明面面垂直并且探索线面平行的存在性，着重考查了正方体的性质、线面平行的判定，以及线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于基础题．