Question

（本小题满分12分）
如图,在梯形中,∥,,,平面平面,四边形是矩形,,点在线段上.

(1)求证:平面BCF⊥平面ACFE;
(2)当为何值时,∥平面?证明你的结论;

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）当时，平面 

本题考查线面位置关系及判定，考查空间想象能力，计算能力，转化能力
（Ⅰ）由已知，若证得AC⊥BC，则据面面垂直的性质定理即可．转化成在平面ABCD，能否有AC⊥BC，易证成立．
（Ⅱ）设AC∩BD=N，则面AMF∩平面BDF=FN，只需AM∥FN即可．而CN：NA=1：2．故应有
EM：FM=1：2
（Ⅰ）在梯形中，，
四边形是等腰梯形，
且
   
又平面平面，交线为，
平面          
∴平面BCF⊥平面ACFE;
（Ⅱ）解法一、当时，平面，    
在梯形中，设，连接，则        
，而，          
，四边形是平行四边形，
又平面，平面平面 
解法二：当时，平面，
由（Ⅰ）知，以点为原点，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，
，
平面，
平面与、共面，
也等价于存在实数、，使，
设.
，
又，，
从而要使得：成立，
需，解得 
当时，平面