Question

如图，自⊙O外一点P作⊙O的切线PC和割线PBA，点C切点，割线PBA交⊙O于A、B两点，点O在AB上，作CD⊥AB，垂足为点D．求证：

PC

PA

=

BD

DC

．

Answer 1

分析：连结BC、AC，由弦切角定理得∠PCB=∠PAC，△PCB∽△PAC，可得

PC

PA

=

BC

AC

．根据AB是圆O的直径，得到Rt△ABC中CD⊥AB，所以△BDC∽△CDA，可得

BD

DC

=

BC

AC

，从而可得

PC

PA

=

BD

DC

成立．

解答：解：连结BC、AC，
∵PC切⊙O于点C，∴∠PCB=∠PAC，
又∵∠BPC=∠CPA，∴△PCB∽△PAC，可得

PC

PA

=

BC

AC

…①，
∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC．
∵Rt△ABC中，CD⊥AB
∴△BDC∽△CDA，可得

BD

DC

=

BC

AC

…②，
比较①②，可得

PC

PA

=

BD

DC

．

点评：本题给出圆的直径与切线，求证对应线段成比例．着重考查了圆的直径的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题．