Question

【题目】已知函数f（x），定义
（Ⅰ）写出函数F（2x﹣1）的解析式；
（Ⅱ）若F（|x﹣a|）+F（2x﹣1）=0，求实数a的值；
（Ⅲ）当 时，求h（x）=cosxF（x+sinx）的零点个数和值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）定义 ，

当2x﹣1＞x，可得x＞1，则F（2x﹣1）=1；

当2x﹣1=x，可得x=1，则F（2x﹣1）=0；

当2x﹣1＜x，可得x＜1，则F（2x﹣1）=﹣1；

可得F（2x﹣1）= ；

（Ⅱ）当x＞1时，F（2x﹣1）=1，F（|x﹣a|）=﹣1，

即有|x﹣a|＜x恒成立，即为a2≤2ax在x＞1恒成立，

即有a2≤2a，解得0≤a≤2；

当x=1时，F（2x﹣1）=0，F（|x﹣a|）=0，

可得|1﹣a|=1，解得a=0或2；

当x＜1时，F（2x﹣1）=﹣1，F（|x﹣a|）=1，

即有|x﹣a|＞x恒成立，即为a2≥2ax在x＜1恒成立，

即有a2≥2a，解得a≥2或a≤0；

则a的值为0或2；

（Ⅲ）当 时，h（x）=cosxF（x+sinx）=0，

可得cosx=0或F（x+sinx）=0，

即有x= ；x+sinx=x，即sinx=0，解得x=π，

则h（x）的零点个数为2；

当x+sinx＞x，即 ≤x＜π时，h（x）=cosx∈（﹣1， ]；

当x+sinx=x，即x=π时，h（x）=0；

当x+sinx＜x，即π＜x≤ 时，h（x）=﹣cosx∈[ ，1）．

综上可得，h（x）的值域为（﹣1，1）．

【解析】根据分段函数的定义，讨论2x-1所在的区间，从而得到F（2x-1）的解析式，（2）对x进行讨论，由F（2x-1）求得F（|x﹣a|），运用恒成立思想，即可得到a的值，（3）当h（x）=0时，可得cosx=0或F（x+sinx）=0，对x+sinx进行讨论，在相应的区间内求得值域，综上得到h（x）的值域.