Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA₁=4，D是BC的中点，E是CC₁上的点，且CE=1．
（1）求证：BE⊥平面ADB₁；
（2）求二面角B-AB₁-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）建立空间直角坐标系，证明

BE

•

AD

=0，

BE

•

AB1

=0，即可得到结论；
（2）确定平面ADB₁的法向量、平面BAB₁的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角B-AB₁-D的余弦值．

解答：（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则B（2，0，0），E（0，2，1），A（0，0，0），D（1，1，0），B₁（2，0，4）
∴

BE

=（-2，2，1），

AD

=（1，1，0），

AB1

=（2，0，4）
∴

BE

•

AD

=0，

BE

•

AB1

=0
∴BE⊥AD，BE⊥AB₁
∴AD∩AB₁=A
∴BE⊥平面ADB₁；
（2）解：由（1）知，平面ADB₁的法向量为

BE

=（-2，2，1），平面BAB₁的法向量为

.

n

=（0，1，0）
∴cos＜

BE

，

.

n

＞=

BE • . n

| BE || . n |

=

2

3

∴二面角B-AB₁-D的余弦值为

2

3

．

点评：本题考查了线面垂直的证明及求二面角的余弦值，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．