【题目】已知f(x)=ex+acosx(e为自然对数的底数).
(1)若f(x)在x=0处的切线过点P(1,6),求实数a的值;
(2)当x∈[0, ]时,f(x)≥ax恒成立,求实数a的取值范围.
【答案】
(1)解:∵f'(x)=ex﹣asinx,∴f'(0)=1.f(0)=1+a,
∴f(x)在x=0处的切线方程为y=x+1+a,
∵切线过点P(1,6),∴6=2+a,∴a=4
(2)解:由f(x)≥ax,可得ex≥a(x﹣cosx),(*)
令g(x)=x﹣cosx, ,
∴g'(x)=1+sinx>0,且g(0)=﹣1<0, ,
∴存在 ,使得g(m)=0,
当x∈(0,m)时,g(m)<0;当 时,g(m)>0.
①当x=m时,em>0,g(m)=m﹣cosm=0,
此时,对于任意a∈R(*)式恒成立;
②当 时,g(x)=x﹣cosx>0,
由ex≥a(x﹣cosx),得 ,
令 ,下面研究h(x)的最小值.
∵ 与t(x)=x﹣cosx﹣sinx﹣1同号,
且t'(x)=1+sinx﹣cosx>0对 成立,
∴函数t(x)在 上为增函数,而 ,
∴ 时,t(x)<0,∴h'(x)<0,
∴函数h(x)在 上为减函数,∴ ,∴ .
③当x∈[0,m)时,g(x)=x﹣cosx<0,
由ex≥a(x﹣cosx),得 ,
由②可知函数 在[0,m)上为减函数,
当x∈[0,m)时,h(x)max=h(0)=﹣1,∴a≥﹣1,
综上,
【解析】(1)求导数,可得f(x)在x=0处的切线方程,利用f(x)在x=0处的切线过点P(1,6),求实数a的值;(2)由f(x)≥ax,可得ex≥a(x﹣cosx),令g(x)=x﹣cosx, ,分类讨论由ex≥a(x﹣cosx),得 ,令 ,研究h(x)的最值,即可求实数a的取值范围.
【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数,需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能得出正确答案.
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【题目】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高二丈,问:积几何?”其意思为:“今有底面为矩形的屋脊状的锲体,下底面宽3丈,长4丈,上棱长2丈,高2丈,问:它的体积是多少?”已知1丈为10尺,该锲体的三视图如图所示,则该锲体的体积为( )
A.10000立方尺
B.11000立方尺
C.12000立方尺
D.13000立方尺
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【题目】如图,正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直,AB=2,∠ABC=60°,M是AB的中点.
(I)求证:EM⊥AD;
(II)求二面角A﹣BE﹣C的余弦值;
(III)在线段EC上是否存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为45°,若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
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【题目】已知数列{an}满足a1=1,an=logn(n+1)(n≥2,n∈N*).定义:使乘积a1·a2·a3……ak为正整数的k(k∈N*)叫做“和谐数”,则在区间[1,2018]内所有的“和谐数”的和为
A. 2036 B. 2048 C. 4083 D. 4096
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【题目】已知椭圆的离心率为,且过点.
(1)求椭圆方程;
(2)设不过原点的直线,与该椭圆交于两点,直线的斜率依次为,满足,试问:当变化时,是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|.
(Ⅰ)若不等式f(x)≤2的解集为[0,4],求实数a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若x0∈R,使得f(x0)+f(x0+5)﹣m2<4m,求实数m的取值范围.
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【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的交点为F,准线为l,过点F的直线与抛物线交于M,N两点,若MR⊥l,垂足为R,且∠NRM=∠NMR,则直线MN的斜率为( )
A.±8
B.±4
C.±2
D.±2
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【题目】已知点与点的距离比它的直线的距离小2.
(1)求点的轨迹方程;
(2)是点轨迹上互相垂直的两条弦,问:直线是否经过轴上一定点,若经过,求出该点坐标;若不经过,说明理由.
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【题目】如图,平面与平面交于直线是平面内不同的两点,是平面内不同的两点,且不在直线上,分别是线段的中点,下列命题中正确的个数为( )
①若与相交,且直线平行于时,则直线与也平行;
②若是异面直线时,则直线可能与平行;
③若是异面直线时,则不存在异于的直线同时与直线都相交;
④两点可能重合,但此时直线与不可能相交
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
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