Question

选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式|2x+1|-|x-1|≤log₂a（其中a＞0）．
（1）当a=4时，求不等式的解集；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|-|x-1|≤2，分类讨论，去掉绝对值，分别求出解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）化简f（x）=|2x+1|-|x-1|的解析式，求出f（x）的最小值为-

3

2

，则由 log2a≥-

3

2

，解得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=4时，不等式即|2x+1|-|x-1|≤2，当x＜-

1

2

时，不等式为-x-2≤2，解得-4≤x＜-

1

2

．（1分）
当-

1

2

≤x≤1时，不等式为 3x≤2，解得-

1

2

≤x≤

2

3

．（2分） 当x＞1时，不等式为x+2≤2，此时x不存在．（3分）
综上，不等式的解集为{x|-4≤x≤

2

3

}．（5分）
（Ⅱ）设f（x）=|2x+1|-|x-1|=

-x-2 ，x＜- 1 2 3x ，- 1 2 ≤x≤1 x+2  ，x＞1

，
故f(x)∈[-

3

2

，+∞)，即f（x）的最小值为-

3

2

．（8分）
所以，当f（x）≤log₂a有解，则有 log2a≥-

3

2

，解得a≥

2

4

，即a的取值范围是[

2

4

，+∞)．（10分）

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．