已知数列.满足..数列的前项和为. (1)求数列的通项公式, (2)设.求证:, (3)求证:对任意的有成立．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）

已知数列、满足，，数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求证：；

（3）求证：对任意的有成立．

【答案】

解：（1）由得代入得

整理得，----------------------------------------------------------------1分

∵否则，与矛盾

从而得, ---------------------------------------------------------------------3分

∵ ∴数列是首项为1，公差为1的等差数列

∴，即．---------------------------------------------------------------4分

（2）∵

∴＝

＝---------------------------------------------------------6分

证法1：∵

＝＝

∴．--------------------------------------------------------------------------8分

证法2：∵ ∴

∴

∴．----------------------------------------------------------------------------8分

（3）用数学归纳法证明：

①当时，不等式成立；-----------9分

②假设当（，）时，不等式成立，即

，那么当时

----------------------------------------------------------------------12分

＝

∴当时，不等式成立

由①②知对任意的,不等式成立．--------------------------------------------------------14分

【解析】略

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