Question

已知：函数f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，求a，b的值；
（2）若a=9，b=1，求函数f（x）的单调区间与极值点．

Answer 1

分析：（1）先求导函数，根据曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，则f'（2）=0，f（2）=0建立方程组，解之即可求出a和b的值；
（2）先求出f'（x）=0的值，然后判定导数符号确定函数的单调区间，根据极值的定义判定极值点，代入函数解析式求出极值即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²-3a，
∵曲线y=f（x）在点（2，f（x））处与直线y=8相切，
∴

f′(2)=0 f(2)=8

?

3(4-a)=0 8-6a+b=8

?

a=4 b=24

（2）∵f（x）=x³-27x+1，∴f'（x）=3x²-27，令f'（x）=0，则x=±3，即：

x	（-∞，-3）	-3	（-3，3）	3	（3，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大	减	极小	增

则函数f（x）=x³-27x+1的单调增区间是：（-∞，-3），（3，+∞）
单调减区间是：（-3，3）
x=-3是极大值点，极大值为f（-3）=55；
x=3是极小值点，极小值为f（3）=-53．

点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数研究函数单调性和极值，同时考查了计算能力，属于中档题．