Question

9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$，再将所得图象每个点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到y=g（x）的图象，则函数y=g（x）在区间[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{18}$]上值域为（　　）

• A． [-2，-1]
• B． [-$\sqrt{2}$，-1]
• C． [-$\sqrt{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• D． [-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

Answer 1

分析 由图可求周期T=4×（$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}×\frac{π}{6}$）=$\frac{2π}{3}$，即可求ω，由Asin（$\frac{π}{4}×3+$φ）=0，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ，由Asin（$\frac{π}{6}×3+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，可解得A，解得函数解析式为f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）．根据正弦函数的图象变换规律可求g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{4}$），由x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{18}$]，即可解得g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{4}$）∈[-2，-1]．

解答 解：如图周期T=4×（$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}×\frac{π}{6}$）=$\frac{2π}{3}$，即ω=3；
∵Asin（$\frac{π}{4}×3+$φ）=0，解得：φ=kπ-$\frac{3π}{4}$，k∈Z，又∵|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∵（$\frac{π}{6}$，$\sqrt{2}$）在函数图象上，可得：Asin（$\frac{π}{6}×3+\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，解得：A=2．
∴f（x）=2sin（3x+$\frac{π}{4}$）．
∴将f（x）的图象向右平移$\frac{π}{6}$，可得：y=2sin[3（x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{4}$]=2sin（3x-$\frac{π}{4}$）．
再将所得图象每个点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到y=g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{4}$），
∵x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{18}$]，$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{3π}{4}$，-$\frac{π}{6}$]，
∴g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x-$\frac{π}{4}$）∈[-2，-1]．
故选：A．

点评 本题主要考查了根据图象求正弦型函数解析式；三角函数的周期、相位变换，考查了正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．