Question

已知向量

a

=（sinx，2

3

cosx），

b

=（2sinx，sinx），设f(x)=

a

 • 

b

-1，
（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）若x∈[ 0 ，  

π

2

 ]，求f（x）的值域；
（3）若f（x）的图象按

m

=（t，0）作长度最短的平移后，其图象关于原点对称，求

m

的坐标．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

a

=（sinx，2

3

cosx），

b

=（2sinx，sinx），设f(x)=

a

 • 

b

-1，根据向量数量积计算公式，我们易求出f（x）的解析式，利用降幂公式（二倍角公式逆用）及辅助角公式，我们可将其化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的图象和性质，得到（x）的最小正周期及单调递增区间；
（2）根据（1）中所得函数f（x）的解析式，结合x∈[ 0 ，  

π

2

 ]及正弦型函数的图象和性质，可求出此时f（x）的值域；
（3）f（x）的图象按

m

=（t，0）作长度最短的平移后，其图象关于原点对称，即此时原点是f（x）的对称中心，根据（1）中解析式，求出函数f（x）的距离原点最近的对称中心，即可得到

m

的坐标．

解答：解：f(x)= 

a

 • 

b

-1=2sin2x+2

3

cosxsinx-1=1-cos2x+

3

sin2x-1=2sin ( 2x-

π

6

 )（4分）
（1）最小正周期为：T=

2π

2

=π-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z）-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ（k∈Z）
∴单调递增区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]（k∈Z）（7分）
（2）∵x∈[ 0 ，   

π

2

 ]∴2x-

π

6

∈[ -

π

6

 ，   

5

6

π ]
∴sin ( 2x-

π

6

 )∈[ -

1

2

 ，   1 ]∴f（x）∈[-1，2]（10分）
（3）2x-

π

6

=kπ⇒x=

π

12

+

kπ

2

（k∈Z）
∴f（x）的对称中心坐标为（

π

12

+

kπ

2

，0）（k∈Z）
∵f（x）的图象按

m

的长度最短的平移
∴

m

=(- 

π

12

 ，   0 )（13分）

点评：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，正弦型函数的周期，单调性，最值及函数图象的平移变换，是三角函数图象和性质与平面向量的综合应用，熟练掌握正弦型函数的图象和性质是解答本题的关键．