Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=lnx
（1）若曲线h（x）=f（x）+ax²-ex（a∈R）在点（1，h（1））处的切线垂直于y轴，求函数h（x）的单调区间；
（2）若函数F(x)=1-

a

x

-g(x) (a∈R)在区间（0，2）上无极值，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把f（x）代入曲线h（x），求h（x）的导函数，让导函数在x=1时的函数值为0，求解a的值，把a值代回原函数，由h^′（x）大于0和小于0分别求函数的单调区间；
（2）函数F(x)=1-

a

x

-g(x) (a∈R)在区间（0，2）上无极值，说明函数F(x)=1-

a

x

-g(x) (a∈R)在区间（0，2）上是单调函数，把函数F（x）求导后根据a的符号不同对a进行分类讨论，以保证导函数在区间（0，2）上大于0或小于0恒成立，从而求出a的具体范围．

解答：解：（1）∵h（x）=f（x）+ax²-ex=e^x+ax²-ex
∴h^′（x）=e^x+2ax-e，
又∵曲线h（x）在点（1，h（1））处的切线垂直于y轴
∴k=h^′（1）=2a，
由k=2a=0得a=0，
∴h（x）=e^x-ex∴h^′（x）=e^x-e，
令h^′（x）=e^x-e＞0得x＞1，
令h^′（x）=e^x-e＜0得x＜1，
∴故h（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（-∞，1）．
（2）∵F(x)=1-

a

x

-g(x)=1-

a

x

-lnx(x＞0)
∴F′(x)=

a

x2

-

1

x

=

a-x

x2

①当a≤0时，在区间（0，2）上F′(x)=

a-x

x2

＜0恒成立，即函数F（x）在区间（0，2）上单调递减，故函数F（x）在区间（0，2）上无极值； 
②当a＞0时，令F′(x)=

a-x

x2

=0得：x=a，
当x变化时，F^′（x）和F（x）的变化情况如下表

x	（0，a）	a	（a，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	单调递增↗	极大值	单调递减↘

∴函数F（x）在x=a处有极大值，
∴要使函数F（x）在区间（0，2）上无极值，只需a≥2，
综上①②所述，实数a的取值范围为（-∞，0]∪[2，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值．掌握不等式恒成立时所取的条件．