Question

函数f（x）=2^x和g（x）=x³的图象的示意图如图所示，两函数的图象在第一象限只有两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂
（1）请指出示意图中曲线C₁，C₂分别对应哪一个函数；
（2）比较f（6）、g（6）、f（10）、g（10）的大小，并按从小到大的顺序排列；
（3）设函数h（x）=f（x）-g（x），则函数h（x）的两个零点为x₁，x₂，如果x₁∈[a，a+1]，x₂∈[b，b+1]，其中a，b为整数，指出a，b的值，并说明理由．

Answer 1

解：（1）根据指数函数f（x）=2^x的图象恒过点（0，1），幂函数g（x）=x³的图象过原点
可知C₁对应的函数为g（x）=x³，C₂对应的函数为f（x）=2^x．…（4分）
（2）∵f（6）=2⁶=64，g（6）=6³=216，f（10）=2¹⁰=1024，g（10）=10³=1000
∴f（6）、g（6）、f（10）、g（10）从小到大依次为f（6），g（6），g（10），f（10）． …（9分）
（3）a=1，b=9．…（11分）
理由如下：由于h（1）=1＞0，h（2）=-4＜0，h（9）=2⁹-9³＜0，h（10）=2¹⁰-10³，
则方程h（x）=f（x）-g（x）的两个零点x₁∈（1，2），x₂∈（9，10），
因此整数a=1，b=9．…（14分）
分析：（1）根据指数函数f（x）=2^x的图象恒过点（0，1），幂函数g（x）=x³的图象过原点，可得结论；
（2）分别计算f（6）、g（6）、f（10）、g（10），即可比较大小；
（3）利用零点存在定理，计算h（1）=1＞0，h（2）=-4＜0，h（9）=2⁹-9³＜0，h（10）=2¹⁰-10³，即可得到结论．
点评：本题重点考查函数的表示方法，考查零点存在定理，考查数形结合的数学思想，计算较简单．