Question

（2011•朝阳区二模）对于正整数a，b，存在唯一一对整数q和r，使得a=bq+r，0≤r＜b．特别地，当r=0时，称b能整除a，记作b|a，已知A={1，2，3，…，23}．
（Ⅰ）存在q∈A，使得2011=91q+r（0≤r＜91），试求q，r的值；
（Ⅱ）求证：不存在这样的函数f：A→{1，2，3}，使得对任意的整数x₁，x₂∈A，若|x₁-x₂|∈{1，2，3}，则f（x₁）≠f（x₂）；
（Ⅲ）若B⊆A，card（B）=12（card（B）指集合B 中的元素的个数），且存在a，b∈B，b＜a，b|a，则称B为“和谐集”．求最大的m∈A，使含m的集合A的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将2011除以91，便可求相应的商与余数；
（Ⅱ）假设存在这样的函数，若f（1）=a，a∈{1，2，3}，f（2）=b，b∈{1，2，3}，则（3）≠f（1），f（3）≠f（2），令f（3）=c，c∈{1，2，3}，这里c≠a，且c≠b，同理有，f（4）≠b，且f（4）≠c，从而引出矛盾；
（Ⅲ）先证明m=8，9，10，11，12时，不存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”．再证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”．

解答：解：（Ⅰ）因为2011=91×22+9，所以q=22，r=9．…（2分）
（Ⅱ）证明：假设存在这样的函数f：A→{1，2，3}，使得对任意的整数x，y，若|x-y|∈{1，2，3}，则f（x）≠f（y）．
设f（1）=a，a∈{1，2，3}，f（2）=b，b∈{1，2，3}，由已知a≠b，由于|3-1|=2，|3-2|=1，所以f（3）≠f（1），f（3）≠f（2）．
不妨令f（3）=c，c∈{1，2，3}，这里c≠a，且c≠b，同理，f（4）≠b，且f（4）≠c，
因为{1，2，3}只有三个元素，所以f（4）=a．即f（1）=f（4），但是|4-1|=3，与已知矛盾．
因此假设不成立，即不存在这样的函数f：A→{1，2，3}，使得对任意的整数x，y，若|x-y|∈{1，2，3}，则f（x）≠f（y）．…（8分）
（Ⅲ）当m=8时，记M={7+i|i=1，2，…，16}，N={2（7+i）|i=1，2，3，4}记P=C_MN，则card（P）=12，显然对任意1≤i＜j≤16，不存在n≥3，使得7+j=n（7+i）成立．故P是非“和谐集”，此时P={8，9，10，11，12，13，14，15，17，19，21，23}．同样的，当m=9，10，11，12时，存在含m的集合A的有12个元素的子集为非“和谐集”．因此m≤7．…（10分）
下面证明：含7的任意集合A的有12个元素的子集为“和谐集”．
设B={a₁，a₂，…，a₁₁，7}，若1，14，21中之一为集合B的元素，显然为“和谐集”．
现考虑1，14，21都不属于集合B，构造集合B₁={2，4，8，16}，B₂={3，6，12}，B₃={5，10，20}，B₄={9，18}，B₅={11，22}，B'={13，15，17，19，23}．
以上B₁，B₂，B₃，B₄，B₅每个集合中的元素都是倍数关系．考虑B'⊆B的情况，也即B'中5个元素全都是B的元素，B中剩下6个元素必须从B₁，B₂，B₃，B₄，B₅这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B中至少有两个元素存在倍数关系．
综上所述，含7的任意集合A的有12个元素的子集B为“和谐集”，即m的最大值为7．…（14分）

点评：本题是新定义题，解答的关键是读懂题意，巧妙运用，有一定的难度．