Question

如图，四棱锥中，都是边长为的等边三角形.

（I）证明：

（II）求点A到平面PCD的距离.

 

Answer 1

【答案】

（I）见解析（II）1

【解析】（Ⅰ）证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形.

过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.

连结OA，OB,OD,OE.

由和都是等边三角形知PA=PB=PD，

所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，

故，从而.         

因为O是BD的中点，E是BC的中点，

所以OE//CD.因此.   

（Ⅱ）解：取PD的中点F，连结OF，则OF//PB.

由（Ⅰ）知，，故.

又，，

故为等腰三角形，因此.

又，所以平面PCD.

因为AE//CD，平面PCD，平面PCD，所以AE//平面PCD.

因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而，

所以A至平面PCD的距离为1.

（1）解题的关键是辅助线的添加，取BC的中点E是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）求点面距的求解方法比较多，在解题过程中，如何根据题设条件恰当选择相适应的方法是比较棘手的问题。根据解题经验，总结下面常用的技巧：（1）若直接能够确定点在平面的射影，可考虑用直接法，找出点面距.一般在一些规则的几何体中，顶点在底面的射影比较容易确定.如有时要利用两个平面垂直的性质，在其中一个平面内作两个平面交线的垂线即得；（2）如果能够构造出三棱锥，要找的点面距恰好是三棱锥的高，此时利用等体积法比较简单，但是应该明确另一个顶点到对应底面的距离和底面面积两个量，才能顺利求解，计算过程较为麻烦，但是不用添加辅助线找垂线段. （3）若不易找出射影位置，可考虑利用转移的方法，即把不易求的点到平面的距离借助转移手法，变为求另外一点到平面的距离，然后通过这两点到平面的距离的数量关系求得所求距离的方法，常用的手段有平行转移和等比例转移.

【考点定位】本题考查线线垂直的证明和二面角的求解，考查学生的空间想象能力和计算能力。