Question

【题目】已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)．

(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；

(2)若该函数还经过点(2， )，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.

【解析】试题分析:(1)先判断幂函数的指数的奇偶,由m与m＋1中必定有一个为偶数,可知m2＋m为偶数,可得函数开偶次方,即函数定义域为[0，＋∞),且在定义域内单调递增;(2)由过点(2， )和m∈N*求出m的值,进而得出函数的定义域和单调性,列出不等式解出a的范围即可.

试题解析:

(1)∵m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，

∴m与m＋1中必定有一个为偶数，

∴m2＋m为偶数，

∴函数f(x)＝x (m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，并且该函数在其定义域上为增函数．

(2)∵函数f(x)经过点(2，)，

∴＝2，即2＝2，

∴m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0.

∴m＝1或m＝－2.

又∵m∈N*，∴m＝1.

∵f(x)在[0，＋∞)上是增函数，

∴由f(2－a)＞f(a－1)得

解得1≤a＜.

故m的值为1，满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围为.

点睛:本题考查幂函数的定义和性质,属于中档题. 第一问先判断幂函数的指数的奇偶,由m与m＋1中必定有一个为偶数,可知m2＋m为偶数,可得函数开偶次方,即函数定义域为[0，＋∞),且在定义域内单调递增;第二问由过点(2， )和m∈N*求出m的值,进而得出函数的定义域和单调性, 写出f(2－a)＞f(a－1)的等价条件求解即可.