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设函数f(x)对于x、y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x<0时,f(x)<0,f(-1)=-2.
(1)求证:函数f(x)是奇函数;
(2)试问f(x)在x∈[-4,4]上是否有最值?若有,求出最值;若无,说明理由.
(3)解关于x的不等式
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f(bx2)-f(x)>
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f(b2x)-f(b)
(b≤0).
分析:(1)令x=y=0⇒f(0)=0,再令y=-x,⇒f(-x)=-f(x);
(2)设x1,x2∈R,且x1<x2,结合条件用单调性的定义证明函数f(x)为R上的增函数,从而当x∈[-4,4]时,f(x)亦为增函数;又由f(-1)=-2,得-f(1)=-2,⇒f(1)=2,从而当x=-4时,求得f(x)min=f(-4)=-f(4)=-8;当x=4时,f(x)max=f(4)=8;
(3)由
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f(bx2)-f(x)>
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f(b2x)-f(b)
(b≤0)⇒f(bx2-b2x)>f(2x-2b)结合单调递增性⇒bx2-b2x>2x-2b.再对b2的系数b分b=0与b≠0讨论,解得其解集即可.
解答:证明:(1)证明:令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),从而f(0)=0,
令y=-x,则f(0)=f(x)+f(-x)=0,
从而f(-x)=-f(x),即f(x)是奇函数.…(4分)
(2)设x1,x2∈R,且x1<x2,则x1-x2<0,从而f(x1-x2)<0,
又f(x1-x2)=f[x1+(-x2)]=f(x1)+f(-x2)=f(x1)-f(x2).
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)为R上的增函数,
∴当x∈[-4,4]时,f(x)必为增函数.
又由f(-1)=-2,得-f(1)=-2,
∴f(1)=2,
∴当x=-4时,f(x)min=f(-4)=-f(4)=-4f(1)=-8;
当x=4时,f(x)max=f(4)=4f(1)=8.   …(9分)
(3)由已知得
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[f(bx2)-f(b2x)]<f(x)-f(b)

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f(bx2-b2x)>f(x-b)

∴f(bx2-b2x)>2f(x-b),即f(bx2-b2x)>f(2x-2b).
∵f(x)为R上增函数,
∴bx2-b2x>2x-2b,
∴bx2-(b2+2)x+2b>0,即(bx-2)(x-b)>0.
当b=0时,-2x>0,
∴不等式的解集为{x|x<0}.
当b<0时,(-bx+2)(x-b)<0.
1°当-
2
<b<0
时,不等式的解集为{x| 
2
b
<x<b }

2°当b<-
2
时,不等式的解集为 {x| b<x<
2
b
}

3°当b=-
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时,不等式的解集为∅.
点评:本题考查抽象函数及其应用,着重考查赋值法判断函数奇偶性,用定义法(单调性定义)证明函数单调性,转化思想与分类讨论思想求不等式的解集,逻辑复杂,综合性强,属于难题.
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2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
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,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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2
,求a的值;
(2)关于x的不等式(x-1)2>f(x)的解集中的整数恰有3个,求实数a的取值范围;
(3)对于函数f(x)与g(x)定义域上的任意实数x,若存在常数k,m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m都成立,则称直线y=kx+m为函数f(x)与g(x)的“分界线”.设a=
2
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,b=e,试探究f(x)与g(x)是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由.

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