Question

设函数f（x）对于x、y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＜0时，f（x）＜0，f（-1）=-2．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）试问f（x）在x∈[-4，4]上是否有最值？若有，求出最值；若无，说明理由．
（3）解关于x的不等式

1

2

f(bx2)-f(x)＞

1

2

f(b2x)-f(b)（b≤0）．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0⇒f（0）=0，再令y=-x，⇒f（-x）=-f（x）；
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，结合条件用单调性的定义证明函数f（x）为R上的增函数，从而当x∈[-4，4]时，f（x）亦为增函数；又由f（-1）=-2，得-f（1）=-2，⇒f（1）=2，从而当x=-4时，求得f（x）_min=f（-4）=-f（4）=-8；当x=4时，f（x）_max=f（4）=8；
（3）由

1

2

f(bx2)-f(x)＞

1

2

f(b2x)-f(b)（b≤0）⇒f（bx²-b²x）＞f（2x-2b）结合单调递增性⇒bx²-b²x＞2x-2b．再对b²的系数b分b=0与b≠0讨论，解得其解集即可．

解答：证明：（1）证明：令x=y=0，则f（0）=f（0）+f（0），从而f（0）=0，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，
从而f（-x）=-f（x），即f（x）是奇函数．…（4分）
（2）设x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0，从而f（x₁-x₂）＜0，
又f（x₁-x₂）=f[x₁+（-x₂）]=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函数f（x）为R上的增函数，
∴当x∈[-4，4]时，f（x）必为增函数．
又由f（-1）=-2，得-f（1）=-2，
∴f（1）=2，
∴当x=-4时，f（x）_min=f（-4）=-f（4）=-4f（1）=-8；
当x=4时，f（x）_max=f（4）=4f（1）=8．   …（9分）
（3）由已知得

1

2

[f(bx2)-f(b2x)]＜f(x)-f(b)．
∴

1

2

f(bx2-b2x)＞f(x-b)．
∴f（bx²-b²x）＞2f（x-b），即f（bx²-b²x）＞f（2x-2b）．
∵f（x）为R上增函数，
∴bx²-b²x＞2x-2b，
∴bx²-（b²+2）x+2b＞0，即（bx-2）（x-b）＞0．
当b=0时，-2x＞0，
∴不等式的解集为{x|x＜0}．
当b＜0时，（-bx+2）（x-b）＜0．
1°当-

2

＜b＜0时，不等式的解集为{x| 

2

b

＜x＜b }，
2°当b＜-

2

时，不等式的解集为 {x| b＜x＜

2

b

}，
3°当b=-

2

时，不等式的解集为∅．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法判断函数奇偶性，用定义法（单调性定义）证明函数单调性，转化思想与分类讨论思想求不等式的解集，逻辑复杂，综合性强，属于难题．