Question

设a、b、c∈R，且a、b、c不全相等，则不等式a³+b³+c³≥3abc成立的一个充要条件是

a+b+c≥0

．

Answer 1

分析：分析我们已经知道公式（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³的正确性，现将此公式变形为a³+b³=（a+b）³-3ab（a+b），将（a+b）³与c³再次利用立方公式分解，从而因式分解a³+b³+c³-3abc，即可找出不等式a³+b³+c³≥3abc成立的一个充要条件．

解答：解析　a³+b³+c³-3abc
=（a+b）³-3ab（a+b）+c³-3abc
=[（a+b）³+c³]-3ab（a+b+c）
=（a+b+c）（a²+b²+c²-ab-ac-bc）
=

1

2

（a+b+c）[（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²]，
而a、b、c不全相等?（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²＞0，
∴a³+b³+c³≥3abc?a+b+c≥0．
故答案为：a+b+c≥0．

点评：此题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查了立方公式的综合应用，说明公式是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，这个公式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．