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精英家教网已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C是边长为2的菱形,∠B1BC=60°,侧面BB1C1C⊥底面ABC,∠ABC=90°,二面角A-B1B-C为30°.
(1)求证:AC⊥平面BB1C1C;
(2)求AB1与平面BB1C1C所成角的正切值.
分析:(1)由平面BB1C1C⊥平面ABC且平面BB1C1C∩平面ABC=BC,AC⊥BC,由面面垂直的性质定理可得AC⊥平面BB1C1C
(2)由(1)知AC⊥平面BB1C1C,则有∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角,连接B1C,则∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角,在Rt△ACB1中可求得tan∠∠AB1C.
解答:精英家教网证明:(1)∵平面BB1C1C⊥平面ABC
平面BB1C1C∩平面ABC=BC
又∵AC⊥BC,AC?平面ABC
∴AC⊥平面BB1C1C(6分)
(2)取BB1的中点D,
AC⊥平面BB1C1C
∴AC⊥BB1
∴BB1⊥平面ADC
∴AD⊥BB1
∴∠CDA为二面角A-BB1-C的平面角
∴∠CDA=30°
∵CD=
3

∴AC=1(8分)
连接B1C,则∠AB1C为AB1与平面BB1C1C所成的角(10分)
在Rt△ACB1中tan∠AB1C=
AC
B1C
=
1
2
(12分)
点评:本题主要考查线线垂直,线面垂直,面面垂直的转化及在求线面角,二面角中的应用.
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9
3
9
3

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π3
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(2)求四棱锥B-ACC1A1的体积.

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(I)求证:AC1⊥AlC; 
(Ⅱ)求二面角A-A1B-C的余弦值.

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