Question

9．若集合A={x|x²+px+q=0}，B={x|qx²+px+1=0}．同时满足条件：（1）A∩B≠∅，（2）A∩∁_RB={-2}，（p、q不为零），求p和q的值．

Answer 1

分析 条件①是说集合A、B有相同的元素，条件②是说-2∈A但-2∉B，A、B是两个方程的解集，方程x²+px+q=0和qx²+px+1=0的根的关系的确定是该题的突破口，求p、q的值．

解答 解：设x₀∈A，则x₀≠0，否则将有q=0与题设矛盾．
于是由x₀²+px₀+q=0，两边同除以x₀²，得q（$\frac{1}{{x}_{0}}$）²+p（$\frac{1}{{x}_{0}}$）+1=0，
知$\frac{1}{{x}_{0}}$∈B，故集合A、B中的元素互为倒数．
由①知存在x₀∈A，
使得$\frac{1}{{x}_{0}}$∈B，且x₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
得x₀=1或x₀=-1．
由②知A={1，-2}或A={-1，-2}．
若A={1，-2}，则B={1，-$\frac{1}{2}$}，由韦达定理可得：p=1，q=-2
同理，若A={-1，-2}，则B={-1，-$\frac{1}{2}$}，由韦达定理可得p=3，q=2．
综上，p=1，q=-2或p=3，q=2．

点评 本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．