Question

【题目】已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱为上底面上的动点，给出下列四个结论：

①若PD=3，则满足条件的P点有且只有一个；

②若，则点P的轨迹是一段圆弧；

③若PD∥平面，则DP长的最小值为2；

④若PD∥平面，且，则平面BDP截正四棱柱的外接球所得图形的面积为．

其中所有正确结论的序号为_____．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

由题意画出图形，求出D与上底面点的最大值判断①；由，求得PD1为定值判断②；找出满足PD∥平面ACB1的P的轨迹，求出DP长的最小值判断③；由已知求出正四棱住的外接球的半径，进一步求出大圆面积判断④．

如图，

∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，

∴，又侧棱AA1＝1，

∴，则P与B1重合时PD＝3，此时P点唯一，故①正确；

∵∈（1，3），DD1＝1，则，即点P的轨迹是一段圆弧，故②正确；

连接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，则当P为A1C1中点时，DP有最小值为，故③错误；

由③知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，

其半径为，面积为，故④正确．

∴正确结论的序号是①②④．

故答案为：①②④．