Question

若定义在R上的减函数y=f（x），对任意的a，b∈R，不等式f（a²-2a）≤f（b²-2b）成立，则当1≤a≤4时，

b

a

的取值范围是（　　）

• A．[-

  1

  4

  ，1）
• B．[-

  1

  4

  ，1]
• C．[-

  1

  2

  ，1]
• D．（-

  1

  2

  ，1]

Answer 1

分析：根据y=f（x）是定义在R上的减函数，得不等式f（a²-2a）≤f（b²-2b）等价于（a-b）（a+b-2）≥0．作出aob直角坐标系如图，画出不等式组

(a-b)(a+b-2)≥0 1≤a≤4

表示的平面区域，将动点P（a，b）在区域内运动并结合直线的斜率公式，可得

b

a

的取值范围．

解答：解：∵函数y=f（x）是定义在R上的减函数，
∴任意的a，b∈R，不等式f（a²-2a）≤f（b²-2b）成立，
即a²-2a≥b²-2b，化简得（a-b）（a+b-2）≥0
以a、b分别为横坐标和纵坐标，建立aob直角坐标系，
作出不等式组

(a-b)(a+b-2)≥0 1≤a≤4

表示的平面区域，
如右图所示的△ABC，其中A（1，1），B（4，4），C（4，-2）
动点P（a，b）在区域内运动，得

b

a

=k，等于直线PO的斜率
当P与线段AB上某点重合时，

b

a

达到最大值，（

b

a

）_max=1
当P与点C重合时，

b

a

达到最小值，（

b

a

）_min=

-2

4

=-

1

2

由此可得，当1≤a≤4时，

b

a

的取值范围是[-

1

2

，1]
故选C

点评：本题以函数的单调性为载体，求解不等式恒成立时参数的取值范围，着重考查了函数单调性、二元一次不等式表示的平面区域和直线的斜率公式等知识，属于中档题．