解:(1)由于幂函数y=f(x)的图象过点(2,
),
设所求的幂函数解析式是y=x
α.由于所求图象过点(2,
),
可得
.
解得α=-
,所以函数y=f(x)的解析式f(x)=
,(x>0).
列表:
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),函数在定义域上是减函数,证明如下:
任取0<x
1<x
2,则
=
∵0<x
1<x
2,
∴x
2-x
1>0,
,
∴f(x
1)>f(x
2)
∴f(x)在(0,+∞),上是单调减函数.
分析:(1)根据幂函数的特点,设所求的幂函数解析式是y=x
α.再将点(2,
),的坐标值代入解析式,求得α的值.即可求得幂函数的具体解析式,再列表描点画图,首先列表,再根据表中的x、y对应坐标值,描点,画出函数的图象.
(2)先求出函数的定义域再作出判断,然后再用定义法证明,可任取0<x
1<x
2,用定义证明.
点评:本题考查幂函数的性质、函数单调性的判断与证明,本注意作题的格式先判断后证明,用定义法证明时要注意证明的格式.