Question

已知

a

=（1，2cosx），

b

=（sinπ-2x），

3

cosx），x∈R，且f（x）=

a

•

b

．
（Ⅰ）求f（

π

6

）；
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及在（0，2π）上的单调递增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,平面向量数量积的运算,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标运算可得f（x）=sin（π-2x）+2

3

cos²x，再利用三角恒等变换，化简得f（x）=2sin（2x+

π

3

）+

3

，于是可求得f（

π

6

）；
（Ⅱ）利用正弦函数的周期性与单调性可求得f（x）的最小正周期及在（0，2π）上的单调递增区间．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=1×sin(π-2x)+2cosx×

3

cosx，
∴f（x）=sin（π-2x）+2

3

cos²x=sin2x+

3

cos2x+

3

=2sin（2x+

π

3

）+

3

，
∴f（

π

6

）=2sin（

π

3

+

π

3

）+

3

=2×

3

2

+

3

=2

3

；
（Ⅱ）∵f（x）=2sin（2x+

π

3

）+

3

，∴其最小正周期T=

2π

2

=π．
又由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

⇒kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）可得
函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]．
又x∈（0，2π），故f（x）的单调递增区间为（0，

π

12

]，[

7π

12

，

13π

12

]，[

19π

12

，2π）．

点评：本题考查两角和与差的正弦，考查三角恒等变换的应用，着重考查正弦函数的周期性与单调性，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．