分析 (1)f(x)的对称轴为x=1,故f(x)在[0,1]递减,在(1,4]上递增,且f(1)<f(0)<f(4).故g(b)=max(|f(1)|,|f(4)|).然后讨论|f(1)|和|f(4)|的大小关系得出g(b)的解析式,求出最小值.
(2)f(x)的对称轴为x=$\frac{a}{2}$,根据对称轴与区间[0,b]的关系分情况讨论f(x)的单调性,求出最值,根据2≤f(x)≤6列出不等式组,化简得出b的取值范围和a的值.
解答 (1)当a=2时,f(x)=x2-2x+b,对称轴为x=1.f(1)=b-1,f(4)=b+8,
∴g(b)=max(|b-1|,|b+8|).
①若b+8≤0,即b≤-8时,g(b)=|b-1|=1-b,②若b-1≥0,即b≥1时,g(b)=|b+8|=b+8,③若$\left\{\begin{array}{l}{b-1<0}\\{b+8>0}\\{b-1+b+8≥0}\end{array}\right.$,即-$\frac{7}{2}$≤b<1时,g(b)=|b+8|=b+8
④若$\left\{\begin{array}{l}{b-1<0}\\{b+8>0}\\{b-1+b+8<0}\end{array}\right.$即-8$<b<-\frac{7}{2}$时,g(b)=|b-1|=1-b.
综上,g(b)=$\left\{\begin{array}{l}{1-b,b<-\frac{7}{2}}\\{b+8,b≥-\frac{7}{2}}\end{array}\right.$,∴g(b)在(-∞,-$\frac{7}{2}$)上为减函数,在[-$\frac{7}{2}$,+∞)上为增函数.
∴gmin(b)=g(-$\frac{7}{2}$)=$\frac{9}{2}$.
(2)f(x)=x2-ax+b的对称轴为x=$\frac{a}{2}$.
①若a≤0,则$\frac{a}{2}≤0$,∴f(x)在[0,b)上单调递增,∴$\left\{\begin{array}{l}{f(0)≥2}\\{f(b)≤6}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{b≥2}\\{{b}^{2}-ab+b≤6}\end{array}\right.$.
由b2-ab+b≤6得a≥b+1-$\frac{6}{b}$≥2+1-3=0,∴a=0,解不等式组$\left\{\begin{array}{l}{b≥2}\\{{b}^{2}+b≤6}\end{array}\right.$得b=2.
②若0$<\frac{a}{2}$<$\frac{b}{2}$,即0<a<b时,f(x)在[0,$\frac{a}{2}$]单调递减,在($\frac{a}{2}$,b]单调递增,∴$\left\{\begin{array}{l}{f(\frac{a}{2})≥2}\\{f(b)≤6}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{b-\frac{{a}^{2}}{4}≥2}\\{{b}^{2}-ab+b≤6}\end{array}\right.$.
∴$\left\{\begin{array}{l}{b≥\frac{{a}^{2}}{4}+2}\\{a≥b-\frac{6}{b}+1}\\{0<a<b}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{b≥2}\\{b-\frac{6}{b}+1<b}\end{array}\right.$,解得2<b<6.
∵b-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥2,∴a≤2$\sqrt{b-2}$,∴b-$\frac{6}{b}$+1≤2$\sqrt{b-2}$.解得2<b≤3.
当b=3时,$\left\{\begin{array}{l}{3-\frac{{a}^{2}}{4}≥2}\\{12-3a≤6}\\{0<a<3}\end{array}\right.$,解得a=2.
③若0<$\frac{a}{2}$=$\frac{b}{2}$,即0<a=b时,f(x)在在[0,$\frac{a}{2}$]单调递减,在($\frac{a}{2}$,b]单调递增,∴$\left\{\begin{array}{l}{f(\frac{a}{2})≥2}\\{f(0)≤6}\end{array}\right.$,
即$\left\{\begin{array}{l}{b-\frac{{a}^{2}}{4}≥2}\\{b≤6}\\{0<a=b}\end{array}\right.$,不等式组无解.
④若0<$\frac{b}{2}$<$\frac{a}{2}$<b,即0<b<a<2b时,f(x)在[0,$\frac{a}{2}$]单调递减,在($\frac{a}{2}$,b]单调递增,
∴$\left\{\begin{array}{l}{f(\frac{a}{2})≥2}\\{f(0)≤6}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{b-\frac{{a}^{2}}{4}≥2}\\{b≤6}\\{0<b<a<2b}\end{array}\right.$,∴$\frac{{a}^{2}}{4}+2$<a,不等式无解.
⑤若$\frac{a}{2}≥b$,即a≥2b时,f(x)在[0,b)上单调递减,∴$\left\{\begin{array}{l}{f(0)≤6}\\{f(b)≥2}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{{b}^{2}-ab+b≥2}\\{b≤6}\\{a≥2b}\end{array}\right.$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤b-\frac{2}{b}+1}\\{b≤6}\\{a≥2b}\end{array}\right.$,∴2b≤b-$\frac{2}{b}$+1,即b+$\frac{2}{b}$≤1.
∵0<b≤6,∴b+$\frac{2}{b}$≥2$\sqrt{2}$>1,∴不等式b+$\frac{2}{b}$≤1无解.
综上,b的取值范围是[2,3],b的最大值为3,此时a=2.
点评 本题考查了二次函数的单调性与最值,对对称轴与区间的关系进行讨论是解题关键,属于难题.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | A-B=4 | B. | A+B=4 | C. | A-B=6 | D. | A+B=6 |
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A. | m-$\frac{1}{n}$ | B. | n-m | C. | $\frac{1}{2}$(m-$\frac{1}{n}$) | D. | $\frac{1}{2}$(n-m) |
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