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已知椭圆的中心在原点,准线方程为x=±4,如果直线:3x-2y=0与椭圆的交点在x轴上的射影恰为椭圆的焦点.

  (1)求椭圆方程;

 (2)设直线与椭圆的一个交点为P,F是椭圆的一个焦点,试探究以PF为直径的圆与椭圆长轴为直径的圆的位置关系;

  (3)把(2)的情况作一推广:写出命题(不要求证明)

 

【答案】

解:(1)设椭圆方程为 (a>b>0)

          直线3x-2y=0与椭圆的一个交点的坐标是,代入椭圆方程得:

            又   a2=b2+c2

          ∴ a=2     C=1

          ∴                ………………5分

 

        (2)由(1)知,直线与椭圆的一个交点为,F(1,0),则从PF为直径的圆的方程,圆心为,半径为

          以椭圆长轴为直径的圆的方程为x2+y2=4,圆心(0,0),半径为2

          两圆圆心之间距离为

          ∴ 两圆内切               ………………8分

         P、F为其它三种情况时,两圆都为内切     ………………10分

       (3)如果椭圆的方程是 (a>b>0),P是椭圆上的任意一点,F是椭圆的一个焦点,则以PF长为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆是内切关系。                    …………13分

        (如P写成椭圆上的定点,此问只给1分)

 

【解析】略

 

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