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【题目】已知函数 为常数),函数为自然对数的底).

(1)讨论函数的极值点的个数;

(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(1)详见解析(2)

【解析】试题(1)求得,分三种情况讨论,分别研究函数的单调性进而可得函数极值点的个数;(2)不等式恒成立,等价于只需研究函数的最小值不小于零即可.

试题解析:(1)

得: ,记,则

,且时, 时,

所以当时, 取得最大值,又

(i)当时, 恒成立,函数无极值点;

(ii)当时, 有两个解 ,且时, 时, 时, ,所以函数有两个极值点;

(iii)当时,方程有一个解,且 时, ,所以函数有一个极值点;

(2)记

又当 时,

在区间上单调递增,

所以恒成立,即恒成立,

综上实数的取值范围是.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题,属于难题.不等式恒成立问题常见方法:① 分离参数恒成立(可)或恒成立(即可);② 数形结合(图象在 上方即可);③ 讨论最值恒成立;④ 讨论参数.本题是利用方法 ③ 求得的范围的.

练习册系列答案
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)若,求的值.

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年龄段(单位:岁)

被调查的人数

赞成的人数

1)从赞成延迟退休的人中任选1人,此人年龄在的概率为,求出表格中的值;

2)若从年龄在的参与调查的市民中按照是否赞成延迟退休进行分层抽样,从中抽取10人参与某项调查,然后再从这10人中随机抽取4人参加座谈会,记这4人中赞成延迟退休的人数为,求的分布列及数学期望.

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单价x(元)

6

6.2

6.4

6.6

6.8

7

销量y(万件)

80

74

73

70

65

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1)求销量y(件)关于单价x(元)的线性回归方程

2)根据销量y关于单价x的线性回归方程,要使加工后收益P最大,应将单价定为多少元?(产品收益=销售收入-成本).

参考公式:==

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