Question

【题目】已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）ex ， 其中e是自然对数的底数，a∈R．
（Ⅰ）若a=1．求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若a=﹣1，函数f（x）的图象与函数g（x）=x3+x2+m的图象有3个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=（x2+x﹣1）ex ，
∴f′（x）=（2x+1）ex+（x2+x﹣1）ex=（x2+3x）ex ．
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=4e，
∵f（1）=e，
∴曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣e=4e（x﹣1），
即4ex﹣y﹣3e=0．
（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x）=（﹣x2+x﹣1）ex﹣（x3+x2+m）
则h′（x）=（﹣2x+1）ex+（﹣x2+x﹣1）ex﹣（x2+x）
=﹣（ex+1）（x2+x）
令h′（x）＞0得﹣1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜﹣1．
∴h（x）在x=﹣1处取得极小值h（﹣1）=﹣﹣﹣m，在x=0处取得极大值h（0）=﹣1﹣m，
∵函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，
∴即，
解得：﹣﹣＜m＜﹣1．
【解析】（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率，切点，运用点斜式方程，即可得到；
（Ⅱ）令h（x）=f（x）﹣g（x），求出导数，求出单调区间，和极值，函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，即有h（﹣1）＜0，且h（0）＞0，解出即可．