Question

已知函数f(x)=a-

b

|x|

(x≠0)．
（1）若函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，求实数b的取值范围；
（2）当b=2时，若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）对于函数g（x）若存在区间[m，n]（m＜n），使x∈[m，n]时，函数g（x）的值域也是[m，n]，则称g（x）是[m，n]上的闭函数．若函数f（x）是某区间上的闭函数，试探求a，b应满足的条件．

Answer 1

分析：（1）先去绝对值，然后设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，根据函数f（x）是（0，+∞）上的增函数，则f（x₁）＜f（x₂），建立关系式，化简整理可求出b的取值范围；
（2）若不等式f（x）＜x在区间（1，+∞）上恒成立，可转化成a＜x+

2

x

在（1，+∞）上恒成立，求出不等式右边的最小值即，使得a小于此最小值即可；
（3）设f（x）是区间[m，n]上的闭函数，则mn＞0且b≠0，讨论m与n同正与同负两种情形，以及讨论b的正负，根据函数的单调性建立关系式，即可求出a与b满足的条件．

解答：解：（1）当x∈（0，+∞）时，f(x)=a-

b

x

设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，由f（x）是（0，+∞）上的增函数，则f（x₁）＜f（x₂）（2分）f(x1)-f(x2)=

b(x1-x2)

x1x2

＜0（3分）
由x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞）知x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，所以b＞0，即b∈（0，+∞）（5分）
（2）当b=2时，f(x)=a-

2

|x|

＜x在x∈（1，+∞）上恒成立，即a＜x+

2

x

（6分）
因为x+

2

x

≥2

2

，当x=

2

x

即x=

2

时取等号，（8分）

2

∈(1，+∞)，所以x+

2

x

在x∈（1，+∞）上的最小值为2

2

．则a＜2

2

（10分）
（3）因为f(x)=a-

b

|x|

的定义域是（-∞，0）∪（0，+∞），
设f（x）是区间[m，n]上的闭函数，则mn＞0且b≠0（11分）
①若0＜m＜n
当b＞0时，f(x)=a-

b

|x|

是（0，+∞）上的增函数，则

f(m)=m f(n)=n

，
所以方程a-

b

x

=x在（0，+∞）上有两不等实根，
即x²-ax+b=0在（0，+∞）上有两不等实根，所以

a2-4b＞0 x1+x2=a＞0 x1•x2=b＞0

，即a＞0，b＞0且a²-4b＞0（13分）
当b＜0时，f(x)=a-

b

|x|

=a+

-b

x

在（0，+∞）上递减，则

f(m)=n f(n)=m

，即

a- b m =n a- b n =m

⇒

a=0 mn=-b

，
所以a=0，b＜0（14分）
②若m＜n＜0
当b＞0时，f(x)=a-

b

|x|

=a+

b

x

是（-∞，0）上的减函数，所以

f(m)=n f(n)=m

，即

a+ b m =n a+ b n =m

⇒

a=0 mn=b

，
所以a=0，b＞0（15分）
当b＜0f(x)=a-

b

|x|

=a+

b

x

是（-∞，0）上的增函数，所以

f(m)=m f(n)=n

所以方程a+

b

x

=x在（-∞，0）上有两不等实根，即x²+ax-b=0在（-∞，0）上有两不等实根，
所以

a2+4b＞0 x1+x2=a＜0 x1•x2=-b＞0

即a＜0，b＜0且a²+4b＞0（17分）
综上知：a=0，b≠0或a＜0，b＜0且a²+4b＞0或a＞0，b＞0且a²-4b＞0．
即：a=0，b≠0或ab＞0且a²-4|b|＞0

点评：本题主要考查了函数的单调性，以及函数恒成立和函数的值域，是一道综合题，有一定的难度．