Question

某市直小学为了加强管理，对全校教职工实行新的临时事假制度：“每位教职工每月在正常的工作时间，临时有事，可请假至多三次，每次至多一小时”．现对该制度实施以来50名教职工请假的次数进行调查统计，结果如下表所示：

请假次数	0	1	2	3
人数	5	10	20	15

根据上表信息解答以下问题：
（1）从该小学任选两名教职工，用η表示这两人请假次数之和，记“函数f（x）=x²-ηx-1在区（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
（2）从该小学任选两名职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由已知得η=4或η=5．当η=4时，P1=

C 2 20 + C 1 10 C 1 15

C 2 50

=

68

245

，当η=5时，P2=

C 1 20 C 1 15

C 2 50

=

12

49

，由η=4与η=5为互斥事件，能求出事件A发生的概率．
（2）从该小学任选两名教职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（1）函数f（x）=x²-ηx-1过（0，-1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，
则必有

f(4)＜0 f(6)＞0

，即

16-4η-1＜0 36-6η-1＞0

，
解得

15

4

＜η＜

35

6

，
所以，η=4或η=5．…（3分）
当η=4时，P1=

C 2 20 + C 1 10 C 1 15

C 2 50

=

68

245

，
当η=5时，P2=

C 1 20 C 1 15

C 2 50

=

12

49

，…（5分）
η=4与η=5为互斥事件，
由互斥事件的概率公式，得事件A发生的概率P=

68

245

+

12

49

=

128

245

（6分）
（2）从该小学任选两名教职工，用ξ表示这两人请假次数之差的绝对值，
则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C 2 5 + C 2 10 + C 2 20 + C 2 15

C 2 50

=

2

7

，
P（ξ=1）=

C 1 5 C 1 10 + C 1 10 C 1 20 + C 1 15 C 1 20

C 2 50

=

22

49

，
P（ξ=2）=

C 1 5 C 1 20 + C 1 10 C 1 15

C 2 50

=

10

49

，
P（ξ=3）=

C 1 5 C 1 15

C 2 50

=

3

49

，…（10分）
从而ξ的分布列：

ξ	0	1	2	3
P	2 7	22 49	10 49	3 49

ξ数学期望：Eξ=0×

2

7

+1×

22

49

+2×

10

49

+3×

3

49

=

51

49

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．