Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠， AB∥CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别是PC，CD的中点．

（Ⅰ）证明：CD⊥平面BEF；

（Ⅱ）设，

求k的值.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）证明： .………………………2分

             PA⊥平面ABCD，AD⊥CD. ……………………………………………3分

. ………………………………………5分

∴ CD⊥平面BEF. ……………………………………………………………………6分                          

（Ⅱ）连结AC且交BF于H，可知H是AC中点，连结EH,

由E是PC中点,得EH∥PA,  PA⊥平面ABCD.

得EH⊥平面ABCD，且EH.…………………………………………8分

作HM⊥BD于M，连结EM，由三垂线定理可得EM⊥BD.

故∠EMH为二面角E—BD—F的平面角，故∠EMH=60⁰.……………………10分

∵ Rt△HBM∽Rt△DBF,

 故.

得,    得 .

在Rt△EHM中，  

得 ………………………………………………………12分

解法2：（Ⅰ）证明，以A为原点，

建立如图空间直角坐标系.

则，，

设PA = k,则,

,.………………………………………………………2分

得.…………………………4分

有………………6分

(Ⅱ)…7分      .

  设平面BDE的一个法向量，

则    得   取……………10分                    由  ………………………………………11分

得 …………………12分