Question

在平面直角坐标系中，已知向量

a

=（x，y-2），

b

=（kx，y+

2

）（k∈R），

a

⊥

b

，动点M（x，y）的轨迹为T．求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算,圆锥曲线的共同特征

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用平面向量数量积的定义可得方程kx²+y²=2，再分类讨论，即可说明该方程表示的曲线的形状．

解答： 解：∵

a

⊥

b

，∴

a

•

b

=（x，y-

2

）•（kx，y+

2

）=0，
得kx²+y²-2=0，即kx²+y²=2，…（6分）
当k=0时，方程表示两条与x轴平行的直线； …（7分）
当k=1时，方程表示以原点为圆心，以

2

为半径的圆； …（8分）
当k＞0且k≠1时，方程表示椭圆；…（10分）
当k＜0时，方程表示焦点在y轴上的双曲线．…（12分）

点评：本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，比较基础．