Question

．设函数f(x)＝－a＋x＋a，x∈(0,1]，a∈R^*.
(1)若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围；
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值．

Answer 1

(1)由f(x)在(0,1]上为增函数，知f′(x)≥0在(0,1]上恒成立，即a≤在(0,1]上恒成立，故a只需小于或等于在(0,1]上的最小值.
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值时由(1)的结论可对a分类讨论，分0<a≤及a>两种情况，当0<a≤时，由(1)知f(x)在(0,1]上为增函数，可求最大值，当a>时，可由导数求f(x)在(0,1]上的极大值点．
[解析]　(1)f′(x)＝－a·＋1.
因为f(x)在(0,1]上是增函数，
所以f′(x)＝－＋1≥0在(0,1]上恒成立，
即a≤＝在(0,1]上恒成立，
而在(0,1]上的最小值为，
又因为a∈R^*，所以0<a≤.
(2)由(1)知：①当0<a≤时，f(x)在(0,1]上是增函数，所以f(x)_max＝f(1)＝(1－)a＋1；
②当a>时，令f′(x)＝0，得x＝∈(0,1]，
因为当0<x<时，f′(x)>0，
当<x≤1时，f′(x)<0，
所以f(x)在点x＝处取得极大值，
即为f＝＋a
＝＋a＝a－，
故f(x)_max＝a－.
综上，当0<a≤时，f(x)_max＝(1－)a＋1；
当a>时，f(x)_max＝a－.
[点评]　①已知f(x)在[a，b]上单调递增(或单调递减)可推得x∈[a，b]时，f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，求单调区间时，令f′(x)>0(或f′(x)<0)．②求f(x)的最大值时，要比较端点处函数值与极值的大小．当f′(x)的符号不确定时，可对待定系数进行分类讨论．

略