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7.已知向量$\overrightarrow{a}$=(1,2),$\overrightarrow{b}$=(x,1),$\overrightarrow{u}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{v}$=2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$.
(Ⅰ)当$\overrightarrow{u}$∥$\overrightarrow{v}$时,求x的值;
(Ⅱ)当$\overrightarrow{u}$⊥$\overrightarrow{v}$时且x<0时,求向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角α.

分析 (Ⅰ)进行向量坐标的加法和减法运算便可求出$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$的坐标,根据向量平行时的坐标关系即可求出x的值;
(Ⅱ)根据向量垂直时的坐标关系即可求出x的值,从而得出向量$\overrightarrow{b}$的坐标,进而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$,这样便可得出向量$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$的夹角.

解答 解:(Ⅰ)根据条件,$\overrightarrow{u}=(1+2x,4)$,$\overrightarrow{v}=(2-x,3)$;
∴$\overrightarrow{u}∥\overrightarrow{v}$时,3(1+2x)-4(2-x)=0;
∴$x=\frac{1}{2}$;
(Ⅱ)当$\overrightarrow{u}⊥\overrightarrow{v}$时,$\overrightarrow{u}•\overrightarrow{v}=(1+2x)(2-x)+12=0$;
解得x=-2,或$\frac{7}{2}$(舍去);
∴$\overrightarrow{b}=(-2,1)$;
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$;
∴$α=\frac{π}{2}$.

点评 考查向量加法、减法和数乘的坐标运算,以及向量平行和垂直时的坐标关系,向量数量积的坐标运算,向量垂直的充要条件.

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其中正确的命题的个数为(  )
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