已知椭圆

的中心、上顶点、右焦点构成面积为1的等腰直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）若A、B分别是椭圆的左、右顶点，点M满足MB⊥AB，连接AM，交椭圆于P点，试问：在x轴上是否存在异于点A的定点C，使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点，若存在，求出C点的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】分析：（1）由题意知

解得b，c，从而a=2．最后写出椭圆方程；
（2）可设直线AM的方程为y=k（x+2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系求出P点的横坐标x₁，再利用向量垂直即可求得C点的横坐标x，从而解决问题．
解答：解：（1）由题意知

解得b=c=

，从而a=2．
∴椭圆方程为

（4分）
（2）A（-2，0），B（2，0），
可设直线AM的方程为y=k（x+2），P（x₁，y₁），MB⊥AB，∴M（2，4k），
直线AM代入椭圆方程x²+2y²=4，
得（1+2k²）x²+8k²x+8k²-4=0（6分）
∴

，
∴x₁=

，
∴P（

，

），
设C（x，0），且x≠-2，以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点，则
MC⊥BP，∴

=0，即：（2-x）

+4k

，
∴x=0，
故存在异于点A的定点C（0，0），使得以MP为直径的圆恒过直线BP、MC的交点．
点评：本题考查直线和椭圆的位置关系、考查存在性问题，解题时要认真审题，仔细解答．

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科目：高中数学 来源：2010年北京大学附中高考数学考前猜题试卷（解析版） 题型：解答题

如图，已知椭圆

的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，我们称△F₁BF₂为椭圆C的特征三角形．如果两个椭圆的特征三角形是相似的，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，且三角形的相似比即为椭圆的相似比．
（1）已知椭圆

和

判断C₂与C₁是否相似，如果相似则求出C₂与C₁的相似比，若不相似请说明理由；
（2）写出与椭圆C₁相似且半短轴长为b的椭圆C_b的方程，并列举相似椭圆之间的三种性质（不需证明）；
（3）已知直线l：y=x+1，在椭圆C_b上是否存在两点M、N关于直线l对称，若存在，则求出函数f（b）=|MN|的解析式．