Question

已知直线l经过点P（1，1），倾斜角为α，设直线l与曲线y²=4x交于点M，N．
（1）若α=

π

3

，求直线l的参数方程和弦MN的长度．
（2）求|PM|•|PN|的最小值及相应的α的值．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,平面向量数量积的运算

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据直线的参数方程的特征及参数的几何意义，直接写出直线的参数方程．利用弦长公式求弦长；
（2）当当|PM|=|PN|时，|PM|•|PN|最小，即P是MN的中点．

解答： ：（1）由于过点（a，b） 倾斜角为α 的直线的参数方程为 

x=a+tcosα y=b+tsinα

，
∵直线l经过点P（1，1），倾斜角α=

π

3

，故直线的参数方程是

x=1+ t 2 y=1+ 3 2 t

．
直线l的方程为：y-1=

3

(x-1)，①
把①代入y²=4x，消去x得：

3

y2-4y-4(

3

-1)=0，
弦长|MN|=

1+ 1 k

|y1-y2|=

1+ 1 3

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 3

×

( 4 3 )2+4 4×( 3 -1) 3

=

8

3

4- 3

；
（2）当|PM|=|PN|时，|PM|•|PN|最小，
所以P为M、N的中点，设M（(

y12

4

，y1)，N（

(2-y1)2

4

，2-y1），
则

y12

4

+

(2-y1)2

4

=2，
解得：y1=1+

3

，y2=1-

3

，
所以M（1+

3

2

，1+

3

）或M(1-

3

2

，1-

3

)
|PM|•|PN|≤

(1± 3 -1)2+(1± 3 2 -1)2

=

15

2

，
此时tanα=

1± 3 -1

1± 3 2 -1

=2，
所以α=arctan2．

点评：本题主要考查直线的参数方程、弦长公式、圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．