Question

已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合

，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．

（1）若，，求数列的通项公式；

（2）若，数列的前5项成等比数列，且，，求满足

的正整数的个数．

Answer 1

解：（1）若，因为5，6，7 ，则5，6，7，

由此可见，等差数列的公差为1，而3是数列中的项，

所以3只可能是数列中的第1，2，3项，

若，则， 若，则，

若，则.          

（2）首先对元素2进行分类讨论：

①若2是数列的第2项，由的前5项成等比数列，

得，这显然不可能；

    ②若2是数列的第3项，由的前5项成等比数列，得，

    因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的，

    所以，则，因此数列的前5项分别为1，，2，，4，

    这样，则数列的前9项分别为1，，2，，4，，，，8，  上述数列符合要求；

③若2是数列的第项（），则，即数列的公差，  所以，1，2，4<，所以1，2，4在数列的前8项中，由于，这样，，，…，以及1，2，4共9项，它们均小于8，

即数列的前9项均小于8，这与矛盾。

综上所述，，-

其次，当时， ， ，，

当时， ，因为是公差为的等差数列，

所以，

所以，

此时的不符合要求。所以符合要求的一共有5个。-