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    对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。 对

    自然数，规定为的阶差分数列，其中。

    （1）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？

    （2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。

    （3）（理）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。

    （1）见解析（2）（3）存在


    解析:

    （1），∴是首项为4，公差为2的等差数列。，∴是首项为2，公差为0的等差数列；也是首项为2，公比为1的等比数列。（2），即，即，∴ ，∵，∴，，，猜想：，

    证明：ⅰ）当时，；ⅱ）假设时，；时，

     结论也成立， ∴由ⅰ）、ⅱ）可知，。

    （3），即 ，

     ∵，

     ∴存在等差数列，，使得对一切自然都成立。

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中。对正整数k，规定为的k阶差分数列，其中。

    （1）       若数列首项，且满足，求数列的通项公式；

    （2）       对（1）中的数列，是否存在等差数列，使得对一切正整数都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，请说明理由；

    （3）       令，设，若恒成立，求最小的正整数M的值。

     

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    科目：高中数学 来源：2011届北京市东城区示范校高三第二学期综合练习数学理卷 题型：解答题

    本小题共13分)
    对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中N*)．对正整数k，规定为的k阶差分数列，其中
    ．
    （Ⅰ）若数列的首项，且满足，求数列的通项公式；
    （Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列，若数列是等差数列，使得
    对一切正整数N*都成立，求；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，令设若成立，求最小正整数的值．

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    科目：高中数学 来源：2013-2014学年湖南省三校高三上学期联考文科数学试卷（解析版） 题型：填空题

    对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中.对自然数，规定为数列的阶差分数列，其中

    ⑴若，则                       ；

    ⑵若，且满足，则数列的通项公式为                 .

     

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    科目：高中数学 来源：2012-2013学年广东省高三5月高考模拟考试理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中， 对自然数，规定为的阶差分数列，其中．

    （1）已知数列的通项公式，试判断，是否为等差或等比数列，为什么？

    （2）若数列首项，且满足，求数列的通项公式。

    （3）对（2）中数列，是否存在等差数列，使得对一切自然都成立？若存在，求数列的通项公式；若不存在，则请说明理由。

     

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    科目：高中数学 来源：2010-2011学年北京市东城区示范校高三第二学期综合练习数学理卷 题型：解答题

    本小题共13分)

    对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中N*)．对正整数k，规定 为的k阶差分数列，其中

    ．

    （Ⅰ）若数列的首项，且满足，求数列的通项公式；

    （Ⅱ）对（Ⅰ）中的数列，若数列是等差数列，使得

    对一切正整数N*都成立，求；

    （Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，令设若成立，求最小正整数的值．

     

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