Question

已知函数f（x）定义在（-1，1）上，对于任意的x，y∈（-1，1），有f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，且当x＜0时，f（x）＞0．
（Ⅰ）验证函数f(x)=ln

1-x

1+x

是否满足这些条件；
（Ⅱ）判断这样的函数是否具有奇偶性和其单调性，并加以证明．

Answer 1

分析：（I）先求定义域看其是否满足条件，然后验证函数是否满足f(x)+f(y)=f(

x+y

1+xy

)，最后求出当x＜0时的值域，看是否满足即可；
（II）要判定函数f（x）在（-1，1）上的奇偶性，只需判定f（-x）与f（x）的关系，先令x=y=0求出f（0），然后令y=-x即可判定，最后根据函数单调性的定义进行判定单调性．

解答：解：（Ⅰ）由

1-x

1+x

＞0可得-1＜x＜1，即其定义域为（-1，1）
又f(x)+f(y)=ln

1-x

1+x

+ln

1-y

1+y

=ln(

1-x

1+x

•

1-y

1+y

)=ln

1-x-y+xy

1+x+y+xy

=ln

1- x+y 1+xy

1+ x+y 1+xy

=f(

x+y

1+xy

)
又当x＜0时，1-x＞1+x＞0，∴

1-x

1+x

＞1∴ln

1-x

1+x

＞0
故f(x)=ln

1-x

1+x

满足这些条件．（3分）
（Ⅱ）∵f（0）+f（0）=f（0）?f（0）=0
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0?f（-x）=-f（x）
∴f（x）在（-1，1）上是奇函数．
∵f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f(

x-y

1-xy

)
当-1＜x＜y＜1时，

x-y

1-xy

＜0，由条件知f(

x-y

1-xy

)＞0，
即f（x）-f（y）＞0∴f（x）在（-1，1）上是减函数．

点评：本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性性，属于中档题，函数的奇偶性是函数在定义域上的“整体”性质，单调性是函数的“局部”性质．