Question

下面有五个命题：
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是{a|a=

kπ

2

，k∈Z}；
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；
④若cos2α=

1

2

，则α=2kπ±

π

6

（k∈Z）；
⑤函数y=sin（x-

π

2

）在（0，π）上是减函数．
其中真命题的序号是

①

（写出所有真命题的编号）

Answer 1

分析：①先进行化简，再利用求周期的公式即可判断出是否正确；
②对k分奇数、偶数讨论即可；
③令h（x）=x-sinx，利用导数研究其单调性即可；
④利用终边相同的角的集合解出即可；
⑤利用诱导公式先进行化简，进而可判断出是否正确．

解答：解：①函数y=sin⁴x-cos⁴x=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=-cos2x，∴最小正周期T=

2π

2

=π，∴函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π，故①正确；
②当k=2n（n为偶数）时，a=

2nπ

2

=nπ，表示的是终边在x轴上的角，故②不正确；
③令h（x）=x-sinx，则h^′（x）=1-cosx≥0，∴函数h（x）在实数集R上单调递增，故函数y=sinx与y=x最多只能一个交点，因此③不正确；
④∵cos2α=

1

2

，∴2α=2kπ±

π

3

，∴α=kπ±

π

6

（k∈Z），故④不正确；
⑤∵函数y=sin（x-

π

2

）=-cosx，又函数y=cosx在区间（0，π）上单调递减，∴函数y=sin（x-

π

2

）=-cosx在区间（0，π）是单调递增，故⑤不正确．
综上可知：只有①正确．
故答案为①．

点评：本题综合考查了三角函数的周期性、单调性、三角函数取值及终边相同的角，利用诱导公式进行化简和利用导数判断单调性是解题的关键．