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已知点M是圆C:x2+y2=2上的一点,且MH⊥x轴,H为垂足,点N满足NH=
2
2
MH,记动点N的轨迹为曲线E.
(Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)若AB是曲线E的长为2的动弦,O为坐标原点,求△AOB面积S的最大值.
(Ⅰ)(Ⅰ)设N(x,y),M(x′,y′),则由已知得,x′=x,y=
2
y

代入x2+y2=2得,x2+2y2=2.
所以曲线E的方程为
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)因为线段AB的长等于椭圆短轴的长,要使三点A、O、B能构成三角形,则弦AB不能与x轴垂直,故
可设直线AB的方程为y=kx+m
y=kx+m
x2
2
+y2=1
,消去y,并整理,得
(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
又△=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)>0
所以,x1+x2=-
4km
1+2k2
x1x2=
2(m2-1)
1+2k2

因为|AB|=2,
所以
(1+k2)(x2-x1)2
=2
,即(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=4
所以(1+k2)[(-
4km
1+2k2
)2-
8(m2-1)
1+2k2
]=4
,即
1
1+k2
=2(1-m2)

因为1+k2≥1,所以
1
2
m2<1
.                 
又点O到直线AB的距离h=
|m|
1+k2

因为S=
1
2
|AB|•h=h

所以S2=h2=2m2(1-m2)=-2(m2-
1
2
)2+
1
2

所以0<S2
1
2
,即S的最大值为
2
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2
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