Question

6．已知f（x+1）=ln（x+1）-ax²+b，且曲线y=f（x）在点（1，b）处的切线方程为y=2ax-1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明：当x＞1时，-x²+2x-$\frac{1}{x}$＜f（x）＜x-1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线方程即可得到a，b的值；
（2）构造函数g（x）=f（x）-（x-1）=lnx-$\frac{1}{2}$（x-1）²-（x-1），h（x）=f（x）+x²-2x+$\frac{1}{x}$=lnx-$\frac{1}{2}$（x-1）²+x²-2x+$\frac{1}{x}$，求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 （1）解：由f（x+1）=ln（x+1）-ax²+b，
可得f（x）=lnx-a（x-1）²+b，
f′（x）=$\frac{1}{x}$-2a（x-1），
由曲线y=f（x）在点（1，b）处的切线方程为y=2ax-1，
即有k=2a=1，解得a=$\frac{1}{2}$；
由切点为（1，0），即有b=0，
则有a=$\frac{1}{2}$，b=0；
（2）证明：f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$（x-1）²，
当x＞1时，g（x）=f（x）-（x-1）=lnx-$\frac{1}{2}$（x-1）²-（x-1），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-（x-1）-1=$\frac{1}{x}$-x＜0，
g（x）在x＞1递减，即有g（x）＜g（1）=0，
即为f（x）＜x-1；
h（x）=f（x）+x²-2x+$\frac{1}{x}$=lnx-$\frac{1}{2}$（x-1）²+x²-2x+$\frac{1}{x}$，
h′（x）=$\frac{1}{x}$-（x-1）+2x-2-$\frac{1}{{x}^{2}}$=（x-1）（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）＞0，
即有h（x）在x＞1递增，即有h（x）＞h（1）=0，
即为f（x）＞-x²+2x-$\frac{1}{x}$．
则有当x＞1时，-x²+2x-$\frac{1}{x}$＜f（x）＜x-1成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，考查构造函数运用导数判断单调性及运用，属于中档题．