Question

设曲线y=xⁿ⁺¹（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x_n，则log₂₀₁₁x₁+log₂₀₁₁x₂+log₂₀₁₁x₃+…+log₂₀₁₁x₂₀₀₉+log₂₀₁₁x₂₀₁₀的值为（　　）

A．-log₂₀₁₀2009

B．-1

C．（（log₂₀₁₀2009）-1

D．1

Answer 1

分析：由导数的几何意义先求切线的斜率k，可得过（1，1）的切线方程，在切线方程中令y=0，可得x_n，然后根据对数的运算法则计算即可得到结论．

解答：解：求导函数，可得f′（x）=（n+1）xⁿ
设过（1，1）的切线斜率k，则k=f′（1）=n+1，∴切线方程为y-1=（n+1）（x-1）
令y=0，可得xn=

n

n+1

∴x1•x2…x2010=

1

2

•

2

3

• …

2010

2011

=

1

2011

∴log₂₀₁₁x₁+log₂₀₁₁x₂+…+log₂₀₁₁x₂₀₁₀=log2011(x1•x2…x2010) =log2011

1

2011

=-1
故选 B

点评：本题考查导数的几何意义及过某一定点的切线方程，考查对数的运算法则，解题的关键是正确运用对数的运算法则．