Question

已知函数f（x）=sin（2x+φ）和g(x)=

3

cos(2x+φ)．
（Ⅰ）设x₁是f（x）的极大值点，x₂是g（x）的极小值点，求|x₁-x₂|的最小值；
（Ⅱ）若f(

π

4

)+g(

π

4

)=-1，且φ∈（0，π），求φ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用x₁是f（x）的极大值点求出x₁的表达式，以及x₂表达式；代入即可求|x₁-x₂|的最小值；
（Ⅱ）先对f(

π

4

)+g(

π

4

)=-1整理得2cos（φ+

π

3

）=-1；再结合φ∈（0，π），即可求φ的值．

解答：解：（Ⅰ）因为x₁是f（x）的极大值点
所以2x₁+φ=2kπ+

π

2

?x₁=kπ+

π

4

-φ/2；
同理得：x₂=nπ+

π

2

-φ/2．
∴|x₁-x₂|=|（k-n）π-

π

4

|=|k-n|π+

π

4

．
∴|x₁-x₂|的最小值为：

π

4

．
（Ⅱ）∵f(

π

4

)+g(

π

4

)=-1=sin（2×

π

4

+φ）+

3

cos（2×

π

4

+φ）=cosφ-

3

sinφ=2cos（φ+

π

3

）
∴2cos（φ+

π

3

）=-1．
又∵φ∈（0，π），
∴φ+

π

3

=

2π

3

即  φ=

π

3

．

点评：本题主要考查正弦函数和余弦函数性质的应用问题．解决第一问的关键在于对正弦函数和余弦函数图象及性质的理解和应用．