Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足csinA=acosC
1）求角C大小；
（2）求

3

sinA-cos（B+

π

4

）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用正弦定理化简csinA=acosC．求出tanC=1，得到C=

π

4

．
（2）B=

3π

4

-A，化简

3

sinA-cos（B+

π

4

），通过0＜A＜

3π

4

，推出 

π

6

＜A+

π

6

＜

11π

12

，求出2sin（A+

π

6

）取得最大值2．得到A，B．

解答： 解：（1）由正弦定理得  sinCsinA=sinAcosC，
因为0＜A＜π，所以sinA＞0．从而sinC=cosC，
又cosC≠0，所以tanC=1，C=

π

4

．
（2）有（1）知，B=

3π

4

-A，于是

3

sinA-cos（B+

π

4

）=

3

sinA+cosA
=2sin（A+

π

6

）．
因为0＜A＜

3π

4

，所以 

π

6

＜A+

π

6

＜

11π

12

，
从而当A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时
2sin（A+

π

6

）取得最大值2．
综上所述

3

sinA-cos（B+

π

4

）的最大值为2，此时A=

π

3

，B=

5π

12

．

点评：本题是中档题，考查三角形的有关知识，正弦定理的应用，三角函数的最值，常考题型．